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这里以上文提到的 \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} 为例,我们用PCA方法将这组二维数据其降到一维。 因为这个矩阵的每行已经是零均值,这里我们直接求协方差矩阵: C=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{6}{5} \end{pmatrix} 然后求其特征值和特征向量,具体求解方法不再详述,可以参考相关资料。求解后特征值为: \lambda_1=2,\lambda_2=2/5 其对应的特征向量分别是: c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},c_2\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} 其中对应的特征向量分别是一个通解,c_1和c_2可取任意实数。那么标准化后的特征向量为: \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} 因此我们的矩阵P是: P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} 可以验证协方差矩阵C的对角化: PCP^\mathsf{T}=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6/5 & 4/5 \\ 4/5 & 6/5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2/5 \end{pmatrix} 最后我们用P的第一行乘以数据矩阵,就得到了降维后的表示: Y=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 & 3/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}
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